$N=3$の場合
では$N=3$のときから順番に求めていきたいと思います。$\left(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{2}\}=\left<\bar{2}\right>$となっています。 $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{2}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{-1} \\ \end{array}$$ このぐらいであれば、元の数がまだ少ないので、最悪の場合でも行き当たりばったりでも、それぞれの元の写り先が求められます。 全ての元を1へ写す指標(=主指標)は必ずあるので、それが 上の表でいうところの$\chi_0$です。
その他に、$\bar{2}=\bar{-1}$であるので、$\chi$が準同型であることから$\chi(\bar{-1})=-1$であるような写像もなければなりません。それが上の表でいうところの$\chi_1$です。
これで、導手$N=3$の指標は尽きます。
というのも、$\chi(\bar{2})=e^{\frac{2\pi i k}{2}}$ ($k=0,1$)であるから、$\bar{2}$の写り先は$k=0$に対応する場合か$k=1$に対応する場合、つまり$1$か$-1$しかないので、上記の指標で尽くされます。
$\mathbb{N}$の元に対応する形で表を書いてみると、こうなります。
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
$N=4$の場合
$\left(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{3}\}=\left<\bar{3}\right>$となっています。この場合も考え方は$N=3$のときとほとんど同じです。結果だけ書きます。 $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{3}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{-1} \\ \end{array}$$
同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
$N=5$の場合
このあたりから様子がちょっと変わります。$\left(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4}\}=\left<\bar{2}\right>=\left< \bar{3} \right>$となるので、$\bar{2}$もしくは$\bar{3}$の行き先を決めれば、すべて決まります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{2}} & \Large{\bar{3}}& \Large{\bar{4}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{i} & \Large{-i} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} & \Large{-i} & \Large{i} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1} & \Large{1}\\ \hline \end{array}$$ 以上で$N=5$の指標は尽くされます。 $N=3,4$のときと同様に、$\bar{2}$の行き先を決めるという方向性で考えていけば、($\bar{3}$から考えても結局は同じですが) $\chi(\bar{2})=e^{\frac{2\pi i k}{4}}$ ($k=0,1,2,3$)で$k=0$に対応する場合を$\chi_0$、$k=1$に対応する場合を$\chi_1$という感じで決めていきます。(どれを$\chi_1$とするかは自由。)
同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & i &-i & -1 &0 & 1 & i & -i & -1 & 0 & 1 & i & -i & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_2 & 1 & -i & i & -1 & 0 & 1 & -i & i & -1 & 0 & 1 & -i & i & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_3 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 & -1 & -1 & 1 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
$N=6$の場合
$\left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{5}\}=\left<\bar{5}\right>$となっています。これも$N=3,4$のときと同様です。なので結果だけ。 $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{5}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{-1} \\ \end{array}$$
同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
$N=7$の場合
これは$N=5$の場合に似ています。 $\left(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{5},\bar{6}\}=\left<\bar{3}\right>=\left< \bar{5} \right>$となるので、$\bar{3}$もしくは$\bar{5}$の行き先を決めれば、すべて決まります。$\bar{3}$の行き先を決める方向性で決めていく($\bar{3}$の列をみる)と、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{2}} & \Large{\bar{3}}& \Large{\bar{4}} & \Large{\bar{5}}& \Large{\bar{6}}\\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & e^{\frac{2\pi i }{3}}& e^{\frac{\pi i }{3}}& e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{5\pi i }{3}} & -1\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} & 1\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_4} & \Large{1} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} & 1\\ \hline \Large{\chi_5} & \Large{1} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{5\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{\pi i }{3}} & -1\\ \hline \end{array}$$ となります。
以上で$N=7$の指標は尽くされます。 同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{5\pi i }{3}} & -1 & 0 & 1 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{5\pi i }{3}} & -1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \chi_2 & 1 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 1 & 0 & 1 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \chi_3 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \chi_4 & 1 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & 1 & 0 & 1 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & 1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \chi_5 & 1 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{5\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{\pi i }{3}} & -1 & 0 & 1 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{5\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{\pi i }{3}} & -1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
$N=8$の場合
ここでも、今までとは違ったパターンが出てきます。$\left(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{3},\bar{5},\bar{7}\}=\left<\bar{3}\right> \times\left< \bar{5} \right>$となるので、$\bar{3}$と$\bar{5}$の両方の行き先を決めれば、すべて決まります。
$\bar{3}$も$\bar{5}$もそれぞれ位数が2なので、それぞれについて$N=3,4,6$のときと同じように$1$、$-1$を対応させます。
$\bar{3}$が$1$へいくか$-1$へいくか、$\bar{5}$が$1$へいくか$-1へいくか$なので、指標は全部で4つ出てきます。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{3}} & \Large{\bar{5}}& \Large{\bar{7}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{1} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1} & \Large{1}\\ \hline \end{array}$$ 同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & ・・・\\ \hline \chi_2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & ・・・\\ \hline \chi_3 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
便宜上、$N=n$のときの$i$番目の指標を$\chi_{i,n}$のような表記で書くことにする。
$\pi_{8,4}$を$\left(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\right) ^{\times}$から$\left(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\right) ^{\times}$への自然な全射準同型とすると、 \[ \chi_{2,8}=\pi_{8,4} \circ \chi_{1,4} \] となっています。
実際、比較してみれば$N=4$の指標表が、 $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{3}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{-1} \\ \end{array}$$ $N=8$の指標表が、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{3}} & \Large{\bar{5}}& \Large{\bar{7}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{1} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1} & \Large{1}\\ \hline \end{array}$$ となっています。
もしくは$\mathbb{N}$の元に対応する形の表であれば、$N=4$のときの$\chi_1$は、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 1 & ・・・\\ \hline \end{array}$$ 一方、$N=8$のときの$\chi_2$は、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
つまり、$N=8$の指標 $\chi_2$は$N=4$の指標 $\chi_1$から誘導されます。さらに言い方と変えれば$N=8$の指標 $\chi_2$の導手は$4$となります。
$N=8$の $\chi_2$以外の指標(自明な指標 $\chi_0$は除く)は$N=4$の指標との合成では書けないので、原始的、primitiveな指標です。
これが、前回の記事(ディリクレ指標の定義)の定義1-2-2や定義2-2のように考えるやり方。
定義1-2方式で考える場合には8の約数(4と8)での指標全て、合計6個を対象にそれを$\rho$とします。$\rho$の選び方によっては$\rho(n) = \chi(n) ( \forall n , (n,8)=1)$ではあるものの必ずしも8の指標ではないものもあるので、そういう$\rho$が取れてしまう$\chi$は原始的ではありません。
$\chi_1$や$\chi_3$であれば、$\rho(n) = \chi(n) ( \forall n , (n,8)=1)$ならば、$M=8$が言えるので、原始的です。
定義1-2-2や定義2-2方式のほうが現代っぽくて、回りくどくないので、以下の例ではすべて定義1-2-2や定義2-2方式で書きます。
$N=9$の場合
同様に、$\left(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{2},\bar{4},\bar{5},\bar{7},\bar{8}\}=\left<\bar{2}\right>=\left< \bar{5} \right>$なので、$\bar{2}$か$\bar{5}$の行き先を決めれば、すべて決まります。(結局同じことになりますがが)$\bar{2}$の行き先を決める方向で進めます。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{2}} & \Large{\bar{4}}& \Large{\bar{5}} & \Large{\bar{7}}& \Large{\bar{8}}\\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & e^{\frac{\pi i }{3}}& e^{\frac{2\pi i }{3}}& e^{\frac{5\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} & -1\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} & 1\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{1} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_4} & \Large{1} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} & 1\\ \hline \Large{\chi_5} & \Large{1} &e^{\frac{5\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} & -1\\ \hline \end{array}$$ となります。
以上で$N=9$の指標は尽くされます。
同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & e^{\frac{\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{5\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & -1 & 0 & 1 & e^{\frac{\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{5\pi i }{3}} & 0 & ・・・\\ \hline \chi_2 & 1 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & 1 & 0 & 1 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 0 & ・・・\\ \hline \chi_3 & 1 & -1 & 0 &1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 &1 & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_4 & 1 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 1 & 0 & 1 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & e^{\frac{2\pi i }{3}} & 0& ・・・\\ \hline \chi_5 & 1 & e^{\frac{5\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{2\pi i }{3}} & -1 & 0 & 1 & e^{\frac{5\pi i }{3}} & 0 & e^{\frac{4\pi i }{3}} & e^{\frac{4\pi i }{3}} & 0& ・・・\\ \hline \end{array}$$
$\pi_{9,3}$を$\left(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}\right) ^{\times}$から$\left(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\right) ^{\times}$への自然な全射準同型とすると、 \[ \chi_{3,9}=\pi_{9,3} \circ \chi_{1,3} \] となっています。
実際、比較してみれば、$N=3$の指標表が、 $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{2}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{-1} \\ \end{array}$$ $N=9$の指標表が、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{2}} & \Large{\bar{4}}& \Large{\bar{5}} & \Large{\bar{7}}& \Large{\bar{8}}\\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & e^{\frac{\pi i }{3}}& e^{\frac{2\pi i }{3}}& e^{\frac{5\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} & -1\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} & 1\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{1} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_4} & \Large{1} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} & 1\\ \hline \Large{\chi_5} & \Large{1} &e^{\frac{5\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{4\pi i }{3}} &e^{\frac{2\pi i }{3}} & -1\\ \hline \end{array}$$ となっています。
もしくは$\mathbb{N}$の元に対応する形の表であれば、$N=3$のときの$\chi_1$は、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$ 一方、$N=9$のときの$\chi_3$は、 同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_3 & 1 & -1 & 0 &1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 &1 & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$ つまり、$N=9$の指標 $\chi_3$は$N=3$の指標 $\chi_1$から誘導されます。さらに言い方と変えれば$N=9$の指標 $\chi_3$の導手は$3$となります。
$N=9$の $\chi_3$以外の指標(自明な指標 $\chi_0$は除く)は$N=3$の指標との合成では書けないので、原始的、primitiveな指標です。
$N=10$の場合
同様に、$\left(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{3},\bar{7},\bar{9}\}=\left<\bar{3}\right>=\left< \bar{7} \right>$なので、$\bar{3}$か$\bar{7}$の行き先を決めれば、すべて決まります。(結局同じことになりますがが)$\bar{3}$の行き先を決める方向で進めます。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{3}} & \Large{\bar{7}}& \Large{\bar{9}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{i} & \Large{-i} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1} & \Large{1}\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-i} & \Large{i} & \Large{-1}\\ \hline \end{array}$$ 以上で$N=10$の指標は尽くされます。
同様に$\mathbb{N}$の元に対応する形で書くとこうなります。 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0& ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & 0 &i & 0 &0 & 0 & -i & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 &i & 0 &0 & ・・・\\ \hline \chi_2 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & ・・・\\ \hline \chi_3 & 1 & 0 & -i & 0 & 0 & 0 & i & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -i & 0 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$ $\pi_{10,5}$を$\left(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}\right) ^{\times}$から$\left(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\right) ^{\times}$への自然な全射準同型とすると、 \[ \chi_{10,1}=\pi_{10,5} \circ \chi_{2,5} \] \[ \chi_{10,3}=\pi_{10,5} \circ \chi_{1,5} \] となっています。($\chi$の対応の順番に注意。$\chi_1$に対して$\chi_2$が対応というように順番が入れ替わっている。)
実際、比較してみれば、$N=5$の指標表が、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{2}} & \Large{\bar{3}}& \Large{\bar{4}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{i} & \Large{-i} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} & \Large{-i} & \Large{i} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1} & \Large{1}\\ \hline \end{array}$$
$N=10$の指標表が、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \hline & \Large{\bar{1}} & \Large{\bar{3}} & \Large{\bar{7}}& \Large{\bar{9}} \\ \hline \Large{\chi_0} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} & \Large{1} \\ \hline \Large{\chi_1} & \Large{1} & \Large{i} & \Large{-i} & \Large{-1}\\ \hline \Large{\chi_2} & \Large{1} & \Large{-1} & \Large{-1} & \Large{1}\\ \hline \Large{\chi_3} & \Large{1} & \Large{-i} & \Large{i} & \Large{-1}\\ \hline \end{array}$$
もしくは$\mathbb{N}$の元に対応する形の表であれば、$N=5$のときの$\chi_2$は、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_2 & 1 & -i & i & -1 & 0 & 1 & -i & i & -1 & 0 & 1 & -i & i & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$
$N=10$のときの$\chi_1$は、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & 0 &i & 0 &0 & 0 & -i & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 &i & 0 &0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$ 従って$N=10$の指標 $\chi_1$は$N=5$の指標 $\chi_2$から誘導されます。さらに言い方と変えれば$N=10$の指標 $\chi_1$の導手は$5$となります。
さらに、$N=5$のときの$\chi_1$は、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_1 & 1 & i &-i & -1 &0 & 1 & i & -i & -1 & 0 & 1 & i & -i & -1 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$ $N=10$のときの$\chi_3$は、 $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 & 15 & ・・・\\ \hline \chi_3 & 1 & 0 & -i & 0 & 0 & 0 & i & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & -i & 0 & 0 & ・・・\\ \hline \end{array}$$ 従って$N=10$の指標 $\chi_3$は$N=5$の指標 $\chi_1$から誘導されます。さらに言い方と変えれば$N=10$の指標 $\chi_3$の導手は$5$となります。
$N=10$の $\chi_1$と$\chi_3$以外の指標(自明な指標 $\chi_0$は除く)は$N=5$の指標との合成では書けないので、原始的、primitiveな指標です。
$N=11$の場合
$N=5,7$などのときと同様の流れなので省略します。この場合も指標はすべて原始的、primitiveです。$N=12$の場合
同様に、$\left(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\right) ^{\times}=\{\bar{1},\bar{5},\bar{7},\bar{11}\}=\left<\bar{5}\right>\times\left< \bar{7} \right>$なので、$\bar{5}$と$\bar{7}$の行き先を決めれば、すべて決まります。ここあたりまでくれば、ほとんど今までの繰り返しです。$N=8$のときを参考に原始的指標まで求められると思います。
さすがに量が多くなってきたので具体的な指標表を書くのは省略します。
$N=13$以降
これについても大抵の場合は今までの繰り返しと組み合わせです。指標表が大きくなってしまうので省略します。というか暇があれば、その先も書こう書こうかとも思いますが、いずれにせよ今回はここで終わりにします。
続きを書く場合には別記事にしようかと思います。
ありがとうございます！！具体的な計算で理解が深められました。
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