ディリクレ指標の定義

今までとは少し趣向を変えて、数学の話題についてもかこうと思います。

で、しかもいきなりですが、ディリクレ指標やL関数あたりのやや専門外の人にとってはマイナーな話題について書こうと思います。

まずは今回はディリクレ指標の定義などについて書きます。

ディリクレ指標の定義1-1

以下の3つの性質を満たす$\chi : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{C}$を$\mod N$のディリクレ指標という。

1. $a \equiv b \mod N \Longrightarrow \chi(a)=\chi(b)$
2. $\chi(ab) = \chi(a)\chi(b)$
3. $(a,N)\neq 1 \Longrightarrow \chi(a) = 0$

1.のは一度$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$と写し、$\mathbb{N}$からの写像とはいいつつも実際は$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上の写像のように考えているという意味です。
2.はわざわざ説明するまでもないかと思いますが、$\chi$が準同型だという意味。
3.は1.に加えさらに、$\left( \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \right)^{\times}$上に制限して考え、それ以外は0にします、という意味です。

原始的ディリクレ指標の定義1-2-1

$\chi$が導手$N$の原始的ディリクレ指標とは、任意の$N$の約数$M>0$(真の約数ではないので、$N$の場合も含む)と、任意の$\mod M$のディリクレ指標$\rho$に対し、 $\rho(n)=\chi(n)$（$\forall n , (n,N)=1$）ならば$M=N$となるものをいう。

$\rho$の条件を満たす指標で、導手が最小のものを$\chi$に付随する原始的指標という。

原始的ディリクレ指標の定義1-2-2

ほとんどいっていることは同じですが、間にワンクッション入れ、誘導される指標を定義してから原始的ディリクレ指標を定義する方法もあります。

1. $M$を$N$の約数とする。また、$\psi$を$\mod M$のディリクレ指標とする。このとき、 \[ \chi(n)=\begin{cases} \psi(n) & ((n,N)=1) \\ 0 & ((n,N) \neq 1) \end{cases} \] と定めれば、$\chi$は$\mod N$のディリクレ指標になっている。(真面目になるならこれも確かめる必要がある。ほぼ明らかだけど。)
   
   このとき、$\chi$を$\psi$から誘導されたディリクレ指標という。
2. $\chi$を$\mod N$のディリクレ指標とする。
   $M$を$N$の真の約数とする。また、$\psi$を$\mod M$のディリクレ指標とする。
   このとき、$\chi$が$\psi$から誘導されないのであれば、$\chi$を原始的ディリクレ指標という。
3. $\chi$を誘導している指標で原始的なものの導手を　$\chi$の導手ということもある。

ディリクレ指標の定義2-1

ディリクレ指標の定義自体も、まわりくどい言い方をせずにもっとシンプルな表現で定義する方法もあります。いっていることは同じ。

準同型写像$\chi : \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$のことを$\mod N$のディリクレ指標という。

原始的ディリクレ指標の定義2-2

1. $\mod N$のディリクレ指標$\chi$に対し、次の図式を可換にする$\mod n$のディリクレ指標 $\tilde{\chi}$が存在する最小の$n \mid N$を　$\chi$の導手という。

2. $\mod N$のディリクレ指標 $\chi$が原始的であるとは、$\chi$の導手が$N$であることをいう。

参考にしたページや文献・書籍
解析的整数論②　ノート　ディリクレ指標　 : 南場世織の妄想日記　
よしいずの雑記帳　Dirichlet指標の定義
$\zeta$関数の話(2015年7月5日都数 7月セミナー)---→リンクが切れてしまっていたのでリンクなし
保形形式のL級数の臨海帯領域での中心での値について(青崎長運)
ディリクレ指標 - Wikipedia
平成 17 年度後期代数学 D・代数学基礎講義 B---第 I 部　 ζ 関数の解析的性質

その他、各種書籍文献については数が多いので省略。

こちらの記事もどうぞ。
ディリクレ指標の具体的計算---原始的(primitive)な指標を求めてみる