ぴろの狂人日記: ディリクレ指標の定義

今までとは少し趣向を変えて、数学の話題についてもかこうと思います。

で、しかもいきなりですが、ディリクレ指標やL関数あたりのやや専門外の人にとってはマイナーな話題について書こうと思います。

まずは今回はディリクレ指標の定義などについて書きます。

ディリクレ指標の定義1-1

以下の3つの性質を満たす

$\chi : \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{C}$ を

$\mod N$ のディリクレ指標という。

1.のは一度

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ と写し、

$\mathbb{N}$ からの写像とはいいつつも実際は

$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上の写像のように考えているという意味です。
2.はわざわざ説明するまでもないかと思いますが、

$\chi$ が準同型だという意味。
3.は1.に加えさらに、

$\left( \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \right)^{\times}$ 上に制限して考え、それ以外は0にします、という意味です。

$\chi$ が導手

$N$ の原始的ディリクレ指標とは、任意の

$N$ の約数

$M>0$ (真の約数ではないので、

$N$ の場合も含む)と、任意の

$\mod M$ のディリクレ指標

$\rho$ に対し、

$\rho(n)=\chi(n)$ （

$\forall n , (n,N)=1$ ）ならば

$M=N$ となるものをいう。

$\rho$ の条件を満たす指標で、導手が最小のものを

$\chi$ に付随する原始的指標という。

ほとんどいっていることは同じですが、間にワンクッション入れ、誘導される指標を定義してから原始的ディリクレ指標を定義する方法もあります。

$M$ を $N$ の約数とする。また、 $\psi$ を $\mod M$ のディリクレ指標とする。このとき、 $\chi(n)=\begin{cases} \psi(n) & ((n,N)=1) \\ 0 & ((n,N) \neq 1) \end{cases}$ と定めれば、 $\chi$ は $\mod N$ のディリクレ指標になっている。(真面目になるならこれも確かめる必要がある。ほぼ明らかだけど。)

このとき、 $\chi$ を $\psi$ から誘導されたディリクレ指標という。
$\chi$ を $\mod N$ のディリクレ指標とする。
$M$ を $N$ の真の約数とする。また、 $\psi$ を $\mod M$ のディリクレ指標とする。
このとき、 $\chi$ が $\psi$ から誘導されないのであれば、 $\chi$ を原始的ディリクレ指標という。
$\chi$ を誘導している指標で原始的なものの導手を　 $\chi$ の導手ということもある。

ディリクレ指標の定義自体も、まわりくどい言い方をせずにもっとシンプルな表現で定義する方法もあります。いっていることは同じ。

準同型写像

$\chi : \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{C}^{\times}$ のことを

$\mod N$ のディリクレ指標という。

$\mod N$ のディリクレ指標 $\chi$ に対し、次の図式を可換にする $\mod n$ のディリクレ指標 $\tilde{\chi}$ が存在する最小の $n \mid N$ を　 $\chi$ の導手という。